alta enginyeria espanyola

He donat moltes voltes a com enfocar aquest tema i finalment he decidit que el millor és que escolteu aquest document sonor  que, per cert,  no té desperdici i extregueu vosaltres mateixos les conclusions…

Publicat en: on 12/10/2010 at 11:50  Comentaris (2)  

homotopia (i III)

Per acabar aquesta sèrie de posts que he dedicat a l’homotopia veurem un teorema clau pel càlcul de grups fundamentals i donaré una visió pràctica del tema amb un exemple.

TEOREMA DE VAN KAMPEN

La idea bàsica del teorema és que si un espai X és la unió de dos oberts U_1 i U_2, el grup fundamental de X és el producte directe dels grups fundamentals de U_1 i U_2.
Així doncs, aquest teorema és una eina essencial, ja que permet el càlcul de grups fundamentals d’espais descomposant-los en espais més simples.
Pensem, per exemple en l’esfera S^2. Podem descomposar-la en dos oberts que són l’esfera treient el pol nord (U_1) i el pol sud (U_2). Com que ambdos oberts són equivalents a \mathbb{R}^2 i \pi_1( \mathbb{R}^n) =0= trivial, aplicant el teorema de Van Kampen tenim que
\pi_1(S^2)= \pi_1(U_1) * \pi_1(U_2)=trivial
El resultat és obvi, ja que tot cercle dibuixat sobre una esfera pot deformar-se a un punt:

Objectes topològics amb diferents grups fundamentals tenen, per tant, estructures topològiques diferents.
Considerem una esfera i un tor.

Intuitivament ja veiem que hi ha alguna diferència (el tor té un forat i l’esfera no), i que poden no ser topològicament equivalents. Demostrar-ho formalment, però, pot resultar complicat.
Mirem els grups fundamentals:
El tor és el producte de dos cercles

Per tant, \pi_1(T)= \pi_1(S^1 \times S^1) =\pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
Per altra banda, ja hem vist que
\pi_1(S^2)=0
Així doncs, la cosa queda clara.

Publicat en: on 26/09/2010 at 11:54  Feu un comentari  

homotopia (II)

Hem vist que el  grup fundamental d’un espai X és el conjunt de les classes d’homotopia dels loops de X amb una operació producte.

L’estudi de l’espai X es redueix a l’estudi del seu grup fundamental.

Vegem-ne alguns exemples.

\mathbb{R}^n

A \mathbb{R}^n tots els loops amb punt base x_0 poden deformar-se l’un en l’altre. És més, qualsevol loop pot reduir-se a un sol punt (identitat). Així, tenim només una classe d’homotopia [e] i el grup fundamental és el grup trivial amb un element.

El cercle: S^1

És evident que descriure una trajectoria tancada sobre un cercle consisteix a donar voltes sobre el cercle i acabar al mateix punt on hem començat. La demostració que fer m voltes no és equivalent a fer-ne n no és trivial; per això intentaré justificar-ho intuitivament. Agafem una corda i fem dues voltes  a una politja. Si volem desfer una passada hem de treure la corda de la politja. Doncs a S^1 passa el mateix: no podem desfer una volta limitant-nos a la superfície del cercle. Per tant, les classes d’homotopia venen determinades pel número de voltes que hem fet. Com que serà un número enter (els negatius equivalen a donar voltes a l’inrevés), el grup fundamental serà \mathbb{Z} : \pi_1(S^1)= \mathbb{Z} .

Publicat en: on 12/09/2010 at 11:19  Feu un comentari  

homotopia

La Topologia Algebraica és una branca de la Matemàtica que ens ajuda a classificar els Espais Topològics, donant-los una estructura més coneguda i familiar, basant-se en els grups d’homotopia.

Per entendre el concepte d’Homotopia en donaré una visió gràfica i  intuitiva, més que una definició formal i acadèmica.

Considerem dos punts (a i b) en un espai X. Direm que dos camins (f i g) que vagin d’ a fins a b són homòtops si es poden deformar continuament l’un en l’altre.Escriurem f \simeq g .
La Homotopia és una relació d’equivalència. Per tant, podem parlar de classes d’homotopia [f]; que seríen els conjunts de tots els camins amb extrems fixos relacionats per homotopia.
Considerem ara dos camins f i g; amb g començant on acaba f. Podem definir un producte o composició de camins f \cdot g que consisteix en recòrrer primer el camí f i tot seguit el camí g.
Òbviament,
f \simeq f' ; g \simeq g' \Rightarrow f \cdot g \simeq f' \cdot g'
Aquesta operació producte és associativa; i.e. (f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h) .
També té un element neutre e (quedar-se quiet en un punt); i un element invers f ^{-1} que consisteix a fer el camí f a l’inrevés.
Tenim, per tant, que aquest producte dóna una estructura de grup al conjunt de les classes d’homotopia.
L’últim pas consisteix a considerar camins tancats o loops; és a dir, camins en que l’origen i el final són el mateix punt base x_0 . En aquest cas, el grup que s’obté es el grup fundamental que denotarem per \pi_1 (X,x_0) .
En principi, el grup fundamental depén de l’elecció del punt base; però si l’espai X que considerem està connectat per camins (i.e., sempre hi ha un camí entre dos punts qualssevol), tots els punts són equivalents; i, per tant, podem escriure \pi_1 (X) .

Si f:X\rightarrow Y és una aplicació continua i y_0=f(x_0) tenim també un homomorfisme entre els grups fundamentals de X i Y amb punts base x_0 i y_0, anomenat homomorfisme induit:
f_*:\pi_1 (X,x_0) \rightarrow \pi_1 (Y,y_0)

Si f i f’ són dues funcions contínues amb f(x_0)=f'(x_0)=y_0 , X i Y són homòtops respecte de x_0 i f_*=f'_* . Per tant, si X i Y són connexes per camins, la dependencia en x_0 desapareix.

O el que és el mateix, dos espais X i Y són homòtops si per tota aplicació f:X\rightarrow Y existeix g:Y\rightarrow X tal que f\cdot g\simeq g\cdot f \simeq e .
En aquest cas, els grups fundamentals són isomorfs
X\simeq Y\Rightarrow \pi_1 (X)\cong\pi_1 (Y)
i, a més,
\pi_1 (X\times Y) =\pi_1 (X)\times\pi_1 ( Y)

Publicat en: on 11/09/2010 at 20:31  Feu un comentari  

geometria euclidiana i no-euclidiana

La Geometria euclidiana és l’estudi de l’espai plà i es basa en 5 postulats o axiomes donats per Euclidi en el seu llibre Els Elements:
1.- Podem unir dos punts qualsevol amb una línia recta.
2.- Podem extendre un segment a una línia recta.
3.- Podem dibuixar un cercle amb un centre i un radi qualssevol.
4.- Tots els angles rectes són iguals.
5.- Si una línea intersecta dues línees donades formant angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes, aleshores aquestes dues línees es tallaran en algun punt.

Així, podem deduir conceptes -típics de la geometria plana- com ara que només podem dibuixar una recta paral.lela a una recta donada per un punt exterior a la mateixa o que els angles d’un triangle sumen 180 graus.
Els Elements també conté nocions tan trivials com que el tot és més gran que les parts o que si dues coses son iguals a una tercera, són iguals entre sí.

La Geometria no-euclidiana es manifesta sobre superfícies no planes; com una pilota de rugby (el.lipse) o una patata pringle (hiperboloid).
La diferència essencial amb la Geometria plana radica en el cinquè postulat i en la idea de paral.lelisme.

En Geometria hiperbòlica (Lobachevskian) podem dibuixar infinites rectes paral.leles a una donada per un punt exterior; en Geometria el.líptica (Riemann) no en podem dibuixar cap.
És a dir, que mentres a l’espai euclidi la distancia entre dues rectes paral.leles es manté constant, en Geometria hiperbòlica aquesta distancia aumenta i en Geometria el.liptica disminuiex.

Publicat en: on 25/07/2010 at 18:45  Feu un comentari  

trencament de la simetria

En un post anterior hem vist que perque un sistema en equilibri evolucioni cal trencar la seva simetria. Així, la simetria de l’estat inicial es rebaixa a una nova simetria a l’estat final. Diem rebaixa, perque aquesta nova simetria sol ser menor que la inicial. Técnicament, direm que hem passat del grup de simetria inicial a un dels seus subgrups.
Inicialment l’estudi de les simetries (i el seu trencament) es va fer pels diferents objectes i fenòmens. El cert és, però, que el quit de la qüestió radica en el trencament de la simetria de les diferents lleis físiques. Aquest trencament pot ser explícit o espontani:

El trencament explícit es produeix quan les equacions de moviment no són invariants respecte el grup de simetria que considerem. És a dir, que el Lagrangià (l’Hamiltonià) del sistema conté termes que que trenquen explícitament la simetria. Aquests termes els podem introduir a mà per reflectir una asimetria observada empíricament; o bé apareixen per efecte de la quantització.

Tenim un trencament espontani quan la simetria final no està en una solució particular de les equacions de moviment sinó en el conjunt de totes les solucions possibles. Imaginem, per exemple, una bola al cim d’una muntanya. La bola està en un estat completament simètric. Una perturbació, però, farà que la bola rodoli cap avall per una direcció detreminada. Així, la simetria inicial s’haurà trencat, ja que podem distingir la direcció que ha pres de totes les altres.
La col.lecció d’estats és simètrica; però cada estat, considerat particularment, no. Per tant, certes simetries de les lleis de la Natura poden estar amagades (i.e., no manifestar-se) perque el nostre món està construït sobre un estat determinat.

Publicat en: on 18/07/2010 at 20:26  Feu un comentari  

simetria i l´ase de Burindan

L’ase de Burindan potser no és tan conegut com el gos de Paulov o el gat d’Schrödinger, però també ha fet la seva petita aportació a la ciència.
L’ase de Burindan tenia dues alforges plenes de palla disposades simètricament a dreta i esquerra. Com que no tenia cap raó per menjar primer d’una que de l’altra, va acabar morint d’inanició.

Tenim, doncs, que una simetria inicial fa que hi hagi una equivalencia entre totes les possibles alternatives; i com que no hi ha cap raó per decantar-se per una o altra, la situació inicial resta inalterada. Així, el sistema no evoluciona a menys que alguna cosa trenqui l’equilibri (i.e., la simetria). És a dir, que una asimetria no pot originar-se espontaniament.

Tota aquesta materia va ser estudiada i desenvolupada per Pierre Curie. Curie va trobar que hi havia una relació entre les propietats físiques i la simetria d’un sistema i va arribar a la conclusio que el que es necesita per que passi alguna cosa és l’absencia d’alguna simetria. La asimetria crea un fenòmen.
Per altra banda, també va establir que les simetries de les causes s’han de reflectir en els efectes; és a dir, que donades unes condicions inicials, només uns certs fenòmens poden tenir lloc.

Publicat en: on 17/07/2010 at 09:58  Feu un comentari  

invariancia gauge i electromagnetisme

Considerem l’equació d’Schrödinger d’una partícula movent-se en el buit
i\hbar \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \varphi
Com que la probabilitat de trobar una partícula en un estat determinat depén de \varphi, podem afagir una fase arbitraria sense alterar el resultat; per tant, fem la transformació
\varphi \rightarrow e^{ip(x,t)}\varphi
L’equació resultant és
i\hbar \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{-\hbar^2}{2m}\left((\nabla + i\nabla p(x,t))^2 - \frac{2m}{\hbar} \frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\right)\varphi
Podríem concloure que l’equació d’Schrödinger no és invariant sota la transformació gauge que hi hem introduit…
Imaginem, però, que l’equació d’Schrödinger ja tingués d’entrada aquests termes adicionals:
i\hbar \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{-\hbar^2}{2m}[(\nabla + i A)^2 +V]\varphi
La transformació implica:
A \rightarrow A+\nabla p(x,t)
V \rightarrow V-\frac{2m}{\hbar} \frac{\partial p(x,t)}{\partial t}
El que hem trobat és, ni més ni menys, que l’equació d’una partícula carregada movent-se en un camp electromagnètic:
B=\nabla \times A
E=-\nabla V-\frac{\partial A}{\partial t}
Els nous components que hem introduit es corresponen amb forces físiques conegudes. Així, en certa manera, hem descobert l’electromagnetisme; ja que, a priori, no hem fet cap suposit.

Publicat en: on 12/07/2010 at 10:58  Comentari (1)  

invariancia gauge

La gran dificultat per entendre el concepte d’invariancia gauge està en saber que és exactament una simertia gauge.
Anem a pams…
Tothom sap (o hauria) que les equacions de la Física són invariants sota translacions. És a dir, que no depenen del sistema de referència; o sigui, que no hi ha posicions absolutes…
De la mateixa manera, les lleis de la Física també són invariants sota rotacions, transformacions de Lorentz i translacions temporals. Notem que totes aquestes transformacions són transformacions geomètriques. El proper pas és preguntar-se si es pot extendre el concepte d’invariancia a transformacions no-geomètriques…
La Física involucra certes quantitats no-geomètriques, com ara el voltatge elèctric. Notem que el voltatge NO és una quantitat absoluta, ja que a les equacions el que hi apareix és la diferència de potencial entre dos punts (V2-V1). Per tant, sumant una constant a cada punt, la diferència no varia.
Totes aquestes transformacions (simetries) són globals; és a dir, la mateixa per tots els punts del nostre sistema.
L’extensió immediata és intentar portar tot això a l’àmbit local. Dit d’una altra manera; ara busquem transformacions (simetries) que puguin variar punt a punt, però que no alterin el resultat final…
Això, que d’entrada pot semblar una animalada, es pot aconseguir…
És la Invariancia Gauge.

Publicat en: on 11/07/2010 at 09:41  Feu un comentari  

l ´axioma de l ´elecció

L’axioma de l’elecció (AC; Axiom of Choice) estableix que donada una col.lecció de conjunts no-buits, sempre podem escollir , sense cap restricció, un element de cada conjunt (representant).
Si volem un enunciat més formal, direm que donada una col.lecció X de conjunts no buits exixteix una funció f tal que per cada S de X, f(S) és de S.
L’axioma va ser formulat per Zemelo (1904) i encara que es majoritariament acceptat, no deixa tothom satisfet, ja que dona lloc a resultats interesants com ara la paradoxa de Banach-Tarski. Kurt Godel i Paul Cohen van demostrar que l’axioma de l’elecció és independent d’altres axiomes, i que, per tant, no pot ser provat ni rebatut.

Considerem la col.lecció de conjunts de números Naturals. Tot conjunt té un mínim i això ens dona un criteri per l’elecció: assignem a cada conjunt el seu element més petit (mínim). En realitat, aquí l’axioma no fa falta ja que sempre podem fer una elecció d’aquest estil.
Les dificultats apareixen quan l’elecció no és trivial. Prenem, per exemple, els subconjunts no-buits de números real. Si agafem un element qualsevol de cada conjunt, no acabarem mai, ja que n’hi ha infinits. La feliç idea d’agafar el mínim de cada conjunt tampoc funciona, ja que n’hi ha alguns que no en tenen (e.g., l’interval (0,1)). L’axioma és, doncs, necesari.

Publicat en: on 08/07/2010 at 09:30  Feu un comentari  
« Entrades més antigues
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.